Студент університету Макґілла (Канада) Олександр Клотц (Alexander Klotz) обчислив час падіння тіла до центру Землі в наскрізному тунелі. Зазвичай в цій класичній задачі щільність Землі приймають однорідною, а Клотц взяв реальну щільність, яка змінюється від поверхні до ядра, і замість звичайних 42 хвилин отримав 38 хвилин. Рішення завдання студент опублікував у журналі the American Journal of Physics, а її популярний виклад наводить Science.
Уявімо собі тунель, проритий крізь Землю, через її центр. Ми стоїмо на поверхні Землі біля краю тунелю і кидаємо туди тіло. Воно вільно падає вниз. Питання: скільки часу займе політ тіла до центру Землі? Таке завдання зазвичай студенти вирішують на іспитах. Рішення вимагає знання законів Ньютона і коливальних рівнянь. У процесі вирішення потрібно обчислити, як змінюється сила гравітації (і прискорення вільного падіння) для об’єкта, який падає через тунель.
У найпростішому випадку Земля розглядають як більярдна куля, що має однорідну щільність, приблизно 5500 кг / м3. У цьому випадку в міру наближення тіла до центру Землі змінюється і сила гравітації, яка на нього діє. Це відбувається тому, що кількість маси Землі нижче і вище положення тіла в тунелі різняться. Тут використовують теорему Ньютона про відсутність гравітації всередині, що отримала назву від того, що в центрі планети гравітація буде нульова. Пролетівши центр Землі, тіло падає далі – до іншої сторони тунелю, і, досягнувши його протилежного кінця, падає назад. Так воно робить коливання по тунелю, як маятник.
Читайте також: Що трапиться, якщо Земля перестане обертатися навколо своєї осі
Олександр Клотц зробив просту річ – він узяв реальну щільність планети, яка, взагалі кажучи, не однакова в різних її частинах і шарах. Земна кора і мантія – менш щільні, ніж ядро. Реальний розподіл маси він взяв з Preliminary Reference Earth model, побудованої на сейсмічних даних. Ця модель дає біля поверхні Землі щільність менше 1000 кг / м3 і приблизно 13000 кг / м3 – в центрі ядра. Відстань від поверхні до центру Землі 6371 км. Прийнявши ці умови, Клотц обчислив, що тіло буде падати по тунелю до центру Землі 38 хвилин 11 секунд. Для порівняння, час падіння в задачі із Землею однорідної щільності становить 42 хвилини 12 секунд.
Натхнення: scientificrussia.ru